【题目】将抛物线c1: 沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)①2,1/2,②是矩形,m=1
【解析】试题分析:因为二次函数的图像关于x轴对称时,函数中的a,c,互为相反数,b值不变,函数向左平移时,纵坐标不变,横坐标均减少平移个单位,可假定成立,由直角三角形性质得到验证。解:(1)抛物线c2的表达式是; 2分;
(2)①点A的坐标是(,0), 3分;
点E的坐标是(,0). 4分;
②假设在平移过程中,存在以点A,M,E为顶点的三角形是直角三角形.
由题意得只能是.
过点M作MG⊥x轴于点G.
由平移得:
点M的坐标是(, ), 5分;
∴点G的坐标是(,0),
∴, ,
,
在Rt△AGM中,
∵ tan,
∴, 6分;
∵,
∴,
∴tan,
∴, 7分;
∴. 8分.
所以在平移过程中,当时,存在以点A,M,E为顶点的三角形是直角三角形.
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【题目】如果点将的弦和分成的四条线段,,,的长度恰好是四个互不相同的正整数,则称点为的”整分点”.现已知是半径为的上一点,则在半径上有________个不同的整分点.
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【题目】如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
(1)求抛物线解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.
(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;
(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线l:y=x+m交x轴于点A,二次函数y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常数)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,与直线l交于点D,已知CD与x轴平行,且S△ACD:S△ABD=3:5.
(1)求点A的坐标;
(2)求此二次函数的解析式;
(3)点P为直线l上一动点,将线段AC绕点P顺时针旋转α°(0°<α°<360°)得到线段A'C'(点A,A'是对应点,点C,C'是对应点).请问:是否存在这样的点P,使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3ax+c的图象上?若存在,请直接写出点A'的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知关于x的一元二次方程有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求的最大值和最小值.
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【题目】如图,在中,,.
(1)如图1,若直线与相交于,过点作于,连接并延长至,使得,过点作于,证明:.
(2)如图2,若直线与的延长线相交于,过点作于,连接并延长至,使得,过点作交的延长线于,探究:、、之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,经过C作CD⊥AB于点D,CF是⊙O的切线,过点A作AE⊥CF于E,连接AC.
(1)求证:AE=AD.
(2)若AE=3,CD=4,求AB的长.
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【题目】某校为美化校园,计划对面积为的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为区域的绿化时,甲队比乙队少用4天。
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.35万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天?
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