【题目】如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
(1)求抛物线解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;(2)点P的坐标为(1,)或(2,1);(3)存在,理由见解析.
【解析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入求得a的值即可;
(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D,先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),然后可得到PD与x之间的关系式,接下来,依据△PBC的面积为1列方程求解即可;
(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°,设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,依据勾股定理可求得⊙M的半径,然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点,从而可求得点M的坐标,然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标.
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;
(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D,
设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:k=﹣,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1,
设点P(x,﹣ x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),
∴PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,
∴S△PBC=OBDP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x,
又∵S△PBC=1,
∴﹣x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1或x=2,
∴点P的坐标为(1,)或(2,1);
(3)存在.
∵A(﹣1,0),C(0,1),
∴OC=OA=1,
∴∠BAC=45°,
∵∠BQC=∠BAC=45°,
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点,
设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,
设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,
解得:x=(负值已舍去),
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x,AB的垂直平分线为直线x=1,
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点,即M(1,﹣1),
∴Q的坐标为(1,﹣1﹣).
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(2017四川省达州市,第16题,3分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=,则下列结论:①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④.其中正确结论的序号是__________.
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【题目】(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为上一动点(不与B,C重合),
求证:PA=PB+PC.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为 .
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【题目】如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,0),则称此抛物线为定点抛物线.
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的解析式.小敏写出了一个正确的答案:y=2x2+3x-5.请你写出一个不同于小敏的答案;
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c,求该抛物线的顶点最低时的解析式.
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【题目】(11·漳州)(满分8分)漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试,为了解测试结果,随机抽取部分学生的成绩进行分析,将成绩分为三个等级:不合格、一般、优秀,并绘制成如下两幅统计图(不完整).请你根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)请将以上两幅统计图补充完整;
(2)若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩,则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标;
(3)若该校学生有1200人,请你估计此次测试中,全校达标的学生有多少人?
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;并写出B点坐标;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C';
(3)请作出将△ABC向下平移的3个单位,再向右平移5个单位后的△A1B1C1;则点A1的坐标为_____;点B1的坐标为______,
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【题目】将抛物线c1: 沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小迪同学在学勾股定理时发现一类特殊三角形:在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.
如图1,在倍角中,,、、的对边分别记为,,,三角形的三边,,有什么关系呢?让我们一起来探索……
(1)已知“倍角三角形”的一个内角为,则这个三角形的另两个角的度数分别为______
(2)小迪同学先从特殊的“倍角三角形”入手研究,请你结合图2和图3填写下表:
三角形 | 角的已知量 | ||
图2 | ______ | ______ | |
图3 | ______ |
小迪同学根据上表,提出一般性猜想:在“倍角三角形”中,,那么,,三边满足:______;
(3)如图1:在倍角三角形中,,、、的对边分别记为,,,求证:.
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