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【题目】如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.

(1)求抛物线解析式;

(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使PBC面积为1;

(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;(2)点P的坐标为(1,)或(2,1);(3)存在,理由见解析

【解析】

(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入求得a的值即可;

(2)过点PPDx,交BC与点D,先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),然后可得到PDx之间的关系式,接下来,依据PBC的面积为1列方程求解即可;

(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=BAC=45°,设ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,设⊙M的半径为x,则RtCMB中,依据勾股定理可求得⊙M的半径,然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣xx=1的交点,从而可求得点M的坐标,然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标.

(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1;

(2)过点PPDx,交BC与点D,

设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:k=﹣

∴直线BC的解析式为y=﹣x+1,

设点P(x,﹣ x2+x+1),则D(x,﹣ x+1),

PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,

SPBC=OBDP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x,

又∵SPBC=1,

x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1x=2,

∴点P的坐标为(1,)或(2,1);

(3)存在.

A(﹣1,0),C(0,1),

OC=OA=1,

∴∠BAC=45°,

∵∠BQC=BAC=45°,

∴点QABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点

ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,

设⊙M的半径为x,则RtCMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,

解得:x=(负值已舍去),

AC的垂直平分线的为直线y=﹣x,AB的垂直平分线为直线x=1,

∴点M为直线y=﹣xx=1的交点,即M(1,﹣1),

Q的坐标为(1,﹣1﹣).

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求证:PA=PB+PC.

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(2)类比迁移

如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙OC为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值

(3)拓展延伸

如图,⊙O的半径为3,点A,B在⊙OC为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为

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【题目】11·漳州)(满分8分)漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试,为了解测试结果,随机抽取部分学生的成绩进行分析,将成绩分为三个等级:不合格、一般、优秀,并绘制成如下两幅统计图(不完整).请你根据图中所给的信息解答下列问题:

1)请将以上两幅统计图补充完整;

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3)若该校学生有1200人,请你估计此次测试中,全校达标的学生有多少人?

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(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为AB;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与轴的交点从左到右依次为DE

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2)小迪同学先从特殊的倍角三角形入手研究,请你结合图2和图3填写下表:

三角形

角的已知量

2

______

______

3

______

小迪同学根据上表,提出一般性猜想:在倍角三角形中,,那么三边满足:______

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