Question

【题目】小迪同学在学勾股定理时发现一类特殊三角形：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.

如图1，在倍角中，，、、的对边分别记为，，，三角形的三边，，有什么关系呢？让我们一起来探索……

（1）已知“倍角三角形”的一个内角为，则这个三角形的另两个角的度数分别为______

（2）小迪同学先从特殊的“倍角三角形”入手研究，请你结合图2和图3填写下表：

三角形	角的已知量
图2		______	______
图3		______

小迪同学根据上表，提出一般性猜想：在“倍角三角形”中，，那么，，三边满足：______；

（3）如图1：在倍角三角形中，，、、的对边分别记为，，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）10°；20°；（2）；；；；；（3）见解析.

【解析】

（1）由三角形内角和，即可得解；

（2）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边为2，那么，即可求得，的值，图3的解法同上．

（3）由（2）中结论，变形即可得证.

（1）由题意，得另外两个内角和为180°-150°=30°

由倍角关系，得另外两个内角的度数分别为10°、20°；

（2）设斜边为2，

当时，那么，

∴

当时，

∴

，，三边满足：；

（3）由（2）中结论，得

∴

即可得证.