【题目】如图所示，点
是线段
的中点，
，
.
（1）如图1，若
，求证
是等边三角形；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点
在射线上，点在点
右侧，且
是等边三角形，
的延长线交直线
于点
，求
的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点
在线段
上，
是等边三角形，且点沿着线段从点
运动到点，点
随之运动，求点的运动路径的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）18；（3）18.
【解析】
（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得
，即可证明
是等边三角形；
（2）证明
，得出
，继而得到
，即可求得PC的长度；
（3）取BC的中点H，分两种情况证明
，得出
或
，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可.
解：（1）∵
，
，
，
是线段
中点，，
，
是等边三角形；
（2）∵、
是等边三角形，
∴
，AB=BC，BD=BQ，
，
∴
，
∴，
，
，
，
，
，
；
（3）取BC的中点H，连接OH,连接CN，
分两种情况讨论：
当M在线段
上时，如图2，
∵H是BC的中点，,
∴
,
∴
是等边三角形,
∵
是等边三角形,
∴
，OM=ON， 
，
∴
,
∴，
点
从起点到
作直线运动,
∵当点M在点B时，CN=BH=9,
∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；
当点M在线段
上时，如图3，
∵H是BC的中点，,
∴,
∴是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴，OM=ON， ，
∴,
∴，
点从到终点作直线运动,
∵当点M在点C时，CN=CH=9,
∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；
综上所述，的路径长度为：
.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小迪同学在学勾股定理时发现一类特殊三角形：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.
如图1，在倍角
中，
，
、
、
的对边分别记为
，
，
，三角形的三边，，有什么关系呢？让我们一起来探索……
（1）已知“倍角三角形”的一个内角为
，则这个三角形的另两个角的度数分别为______
（2）小迪同学先从特殊的“倍角三角形”入手研究，请你结合图2和图3填写下表：
三角形 | 角的已知量 |
|
|
图2 |
| ______ | ______ |
图3 |
| ______ |
小迪同学根据上表，提出一般性猜想：在“倍角三角形”中，，那么，，三边满足：______；
（3）如图1：在倍角三角形中，
，、、的对边分别记为，，，求证：
.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，
是等边三角形，点
、
分别在
、
上，且
，
，
、
相交于点
，连接
，则下列结论：①
；②
；③
；④
，正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况，将样本分成
、
、
、
、
五个组，绘制成如图所示的频数分布直方图，图中、、、、各小组的长方形的高的比是
，且组的频数是
，请结合直方图提供的信息，解答下列问题．
通过计算说明，样本数据中，中位数落在哪个组？并求该小组的频率；
估计该校在这次竞赛中，成绩高于
分的学生人数占参赛人数的百分比．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图：在平面直角坐标系中A(3，2)，B(4，3)，C(1，1)．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标分别是A1(___，___)，B1(___，___)，C1(___，___)；
（3）△ABC的面积是___．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图甲，已知在⊙O中，AB=
，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；
（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径；
（3）如图乙，若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”，其余条件不变，以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH，顶点G、H在⊙O的劣弧
上，GH交OC于点E．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
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