Question

【题目】如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，、相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；
②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DFDA；
④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AFBE=AEAC．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°.

∵BD=BC，CE=AC,

∴BD=EC.

∴△ABD≌△BCE.

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°,

∴∠ABE+∠CBE=60°.

∵∠AFE是△ABF的外角,

∴∠AFE=60°.

∴①是对的；

如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形,

∴EM=CM=EC.

∵EC=CD,

∴EM=CM=DM.

∴∠CED=90°.

∴DE⊥AC，

∴②是对的；

由前面的推断知△BDF∽△ADB.

∴BD:AD=DF:DB.

∴BD2=DFDA.

∴CE2=DFDA.

∴③是对的；

在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角

∴△AFE∽△BAE.

∴AFBE=AEAC.

∴④是正确的.

故答案选A.