Question

【题目】（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为上一动点（不与B，C重合），

求证：PA＝PB＋PC．

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）3-2（3）

【解析】

分析: （1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）,只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题,（2）如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,在△BOQ中,利用三边关系定理即可解决问题,
（3）如图③构造相似三角形即可解决问题,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,连接OQ,BQ,OB,

由△QAB∽△OAC,推出BQ=OC,当BQ最小时,OC最小.

详解:（1）证明:∵BC是直径,

∴∠BAC＝90°,

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋转可得∠QBA＝∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA＝180°,

∴∠QBA+∠PBA＝180°,

∴Q,B,P三点共线,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°

∴QP2=AP2+AQ2=2AP2

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB,

∴AP=PC+PB,

（2）解:连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,

∵AB⊥AC,

∴∠BAC＝90°.

由旋转可得　QB=OC.AQ=OA.∠QAB＝∠OAC.

∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°.

∴在Rt△OAQ中.OQ=3,AO=3,

∴在△OQB中,BQ≥OQ－OB=3－3,

即OC最小值是3－3,

（3）如图中,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,连接OQ,BQ,OB,

∵∠QAO=∠BAC=90°,
∠QAB=∠OAC,
∵,
∴△QAB∽△OAC,
∴BQ=OC,

BQ最小时,OC最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ-OB,
∴OQ≥2,
∴BQ的最小值为2,
∴OC的最小值为,故答案为.

点睛: 本题考查圆综合题,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.