【题目】如果点将的弦和分成的四条线段,,,的长度恰好是四个互不相同的正整数,则称点为的”整分点”.现已知是半径为的上一点,则在半径上有________个不同的整分点.
【答案】
【解析】
设PAPB=PCPD=k,则只需k不是质数和质数的平方,又有圆幂定理及⊙O的半径为5,得k=25-OP2,则k是小于25且不是质数和质数的平方的正整数弧,进而求得k的取值.从而得出满足题意的答案.
由已知得,线段PA,PB,PC,PD的长是互不相同的正整数,且满足PAPB=PCPD,
设PAPB=PCPD=k,则只需k不是质数和质数的平方即可,
又有圆幂定理及⊙O的半径为5,得k=25-OP2,
所以k是小于25且不是质数和质数的平方的正整数弧,
即k可以取6,8,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,共12个数.
故满足题意的整分点P,共有12个,但注意到弦长不大于直径,故满足题意的只有6,8,
即共有2个点.
故答案是:2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,、、.
(1)请画出关于轴对称的(其中、、分别是、、的对应点)并直接写出点的坐标为 .
(2)若直线经过点且与轴平行,则点关于直线的对称点的坐标为 .
(3)在轴上存在一点,使最大,则点的坐标为 .
(4)第一象限有一点,在轴上找一点使最短,画出最短路径,保留作图迹.
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本题满分8分)在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球,上面分别标号为1、2、3,从中随机摸出两个小球,并用球上的数字组成一个两位数.
(1)求组成的两位数是奇数的概率;
(2)小明和小华做游戏,规则是:若组成的两位数是4的倍数,小明得3分,否则小华得3分,你认为该游戏公平吗?说明理由;若不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.
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【题目】小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩.
小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________;
求他们三人在同一个半天去游玩的概率.
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【题目】一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,如图是油箱剩余油量(升)关于加满油后已行驶的路程(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量;
(2)求关于的函数关系式,并计算该汽车在剩余油量5升时,已行驶的路程.
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【题目】(2017四川省达州市,第16题,3分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=,则下列结论:①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④.其中正确结论的序号是__________.
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【题目】(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为上一动点(不与B,C重合),
求证:PA=PB+PC.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为 .
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【题目】将抛物线c1: 沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
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