Question

【题目】问题提出

（1）如图，是的弦，点是上的一点，在直线上方找一点，使得，画出，并说明理由；

问题探究

（2）如图，是的弦，直线与相切于点，点，是直线上异于点的任意一点，请在图中画出图形，试判断的大小关系；并说明理由；

问题解决

（3）如图，有一个平面图为五边形ABCDE的展览馆，其中，，．展览馆保卫人员想在线段上选一点安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点，使最大？若存在，请求出符合条件的的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）∠AMB＞∠AM1B，理由见解析； （3）存在；

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等即可作图求解；

（2）根据三角形的外角定理即可作图求解；

（3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大，连接、，分别延长、交于点，证明四边形是正方形，再求出，连接，交于点，由正方形的性质可得，，，再证明垂直平分线段，再根据圆的性质可得，连接，可得，则，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理得到又利用得到OG= ，故可得到方程，求出R，再求出此时DM的长即可．

解：（1）如图：

在优弧上任意取一点，连接、，则．

理由：，

∴．

（2）如图，交于点，连接，

∵是的外角，

∴，

∵

∴

（3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大，

连接、，分别延长、交于点

∵，

∴四边形是矩形，

∵

∴四边形是正方形。

∴，

∴，

∴．

连接，交于点，由正方形的性质可得，，

，

∵BF=CF,OB=OC

∴垂直平分线段，

∴圆心在线段上，

连接，则，则，

设的半径为，则，，

在中，

∵

∴，

∴，

解得(不合题意，舍去)或，

∴，

∴，

∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为．