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【题目】如图,等边三角形ABC中,DAC上一点,EAB延长线上一点,DEACBC于点F,且DF=EF

(1)求证:CD=BE

(2)AB=12,试求BF的长.

【答案】(1)证明见解析;(24.

【解析】

(1)先作DM∥AB,交CF于M,可得△CDM为等边三角形,再判定△DMF≌△EBF,最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质,得出结论;
(2)根据CD⊥AC,∠A=60°=∠ABC,可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°,由此得出CM=MF=BF=BC,最后根据AB=12即可求得BF的长.

(1)证明:如图,作DMAB,交CBM,则∠DMF=∠EBF.

∵△ABC是等边三角形,

∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD

∴△CDM是等边三角形,

CD=DM.

在△DMF和△EBF中,

DMF=∠EBF

DFM=∠EFB

DF=EF

∴△DMF≌△EBF(AAS).

DM=BE

CD=BE.

(2)解:∵EDAC,∠A=60°=∠ABC

∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°,

BE=BFDM=FM.

由(1)知DMF≌△EBF

MF=BF

CM=MF=BF.

又∵AB=BC=12,

CM=MF=BF=4.

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