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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣,经过A(﹣1,0),B(5,0)两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;

(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣(2)P(2,﹣);(3)符合条件的点N的坐标为(4,﹣)、(2+)或(2﹣).

【解析】

试题分析:(1)把A(﹣1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx﹣,列出a和b的二元一次方程组,求出a和b的值即可;

(2)首先求出抛物线的对称轴,连接BC,然后设设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),求出k和b的值,把x=2代入一次函数解析式,求出y的值即可;

(3)①当点N在x轴下方时,直接求出N点坐标;②当点N在x轴上方时,过点N作ND垂直x轴于点D,先求出N点的纵坐标为,进而求出点N的横坐标,即可解答.

解:(1)把A(﹣1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx﹣

得到

解得

即抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣

(2)抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣

其对称轴为直线x=﹣=﹣=2,

连接BC,如图1所示,

B(5,0),C(0,﹣),

设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),

解得

直线BC的解析式为y=x﹣

当x=2时,y=1﹣=﹣

P(2,﹣);

(3)存在,

如图2所示,

①当点N在x轴下方时,

抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣),

N1(4,﹣);

②当点N在x轴上方时,过点N作ND垂直x轴于点D,

ANDMCO中,

∴△AND≌△MCO(ASA),

ND=OC=,即N点的纵坐标为

x2﹣2x﹣=

解得x=2±

N2(2+),N3(2﹣),

综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣)、(2+)或(2﹣).

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