Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E、F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，当M，N分别在边BC，AD上时，若令AN的长度为y，AE的长度为x，则y关于x的函数解析式是y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x．

Answer 1

分析 由折叠的性质得：∠AEN=∠A'EN，∠BEC=∠B'EC，证出∠CEN=90°，得出∠AEN+∠BEC=90°，由矩形的性质得出∠A=∠B=90°，由直角三角形的性质得出∠AEN+∠ANE=90°，证出∠ANE=∠BEC，得出△AEN∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结果．

解答 解：由折叠的性质得：∠AEN=∠A'EN，∠BEC=∠B'EC，
∵∠AEB=180°，
∴∠CEN=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AEN+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∴∠ANE=∠BEC，
∴△AEN∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AN}{BE}$，即$\frac{x}{3}=\frac{y}{5-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x；
故答案为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．