Question

已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

(1)求证：AD＝BD；

(2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若⊙O的半径为3，sin∠F＝，求DE的长．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)如图，连结CD，…………………………1分 　　∵BC是直径， 　　∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB．…………………………2分 　　∵AC＝BC， 　　∴AD＝BD．…………………………………………………3分 　　(2)连结OD，…………………………………………4分 　　∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BDC＝90°，∴∠ADE＝∠DCO． 　　∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO． 　　∴∠CDO＝∠ADE． 　　由(1)得∠ADE＋∠CDE＝90°， 　　∴∠CDO＋∠CDE＝90°，…………………………………5分 　　即∠ODF＝90°． 　　∴DF是⊙O的切线．………………………………………6分 　　(3)在Rt△DOF中， 　　∵sin∠F＝， 　　∴OF＝5．……………………………………………………7分 　　∵OC＝3， 　　∴CF＝5－3＝2． 　　由(2)得∠DEA＝∠ODF＝90°，∴OD∥AC． 　　∴△CEF∽△ODF．………………………………………9分 　　∴，………………………………………10分 　　即 　　∴DE＝．………………………………………11分