Question

如图，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，∠AOB=30°，B（6，2

3

），C（2，0），P为OB上一动点．
（1）若点A关于直线OB的对称点为E，求E的坐标；
（2）求出△PAC周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形变化-对称

专题：

分析：（1）作A关于OB的对称点E，连接CE交OB于P，连接AP，过E作EN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，由三角形面积公式求出AM，进而求出AE，由勾股定理求出EN即可得出E的坐标；
（2）先求得CN，然后根据勾股定理求出CE，即可得出答案．

解答：解：（1）作A关于OB的对称点E，连接CE交OB于P，连接AP，过E作EN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵EP=PA，
∴PA+PC=PE+PC=CE，
∵B（6，2

3

），
∴AB=2

3

，OA=6，∠B=60°，由勾股定理得：OB=4

3

，
由三角形面积公式得：

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，
∴AM=3，
∴AE=2×3=6，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵EN⊥OA，
∴∠NEA=30°，
∴AN=

1

2

AE=3，由勾股定理得：EN=3

3

，
∴ON=6-3=3，
∴点A关于直线OB的对称点E的坐标（3，3

3

），
 （2）∵B（6，2

3

），C（2，0），
∴AC=6-2=4，
∵CN=6-2-3=1
∴在RT△CNE中，由勾股定理得：EC=

12+(3 3 )2

=2

7

，
即PA+PC的最小值是 2

7

．
∴△PAC周长的最小值=PA+PB+AC=2

7

+4．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．