Question

如图，等腰直角△AOB与等腰直角△COD有公共顶点O，点C、O、B不在同一条直线上，求证：
（1）AC=BD；
（2）AC⊥BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）由三角形AOB与三角形COD为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形AOC与三角形BOD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由（1）全等三角形对应角相等得到∠ACO=∠BDO，设AC与OD交于点F，利用等角的余角相等得到∠DEF=90°，即可得证．

解答：证明：（1）∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
（2）∵△AOC≌△BOD，
∴∠ACO=∠BDO，
令AC交DO于F点，
又∵∠COD=90°，
∴∠ACO+∠CFO=90°，
又∵∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，即∠DEF=90°，
则AC⊥BD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．