Question

一副三角板如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D′CE′（如图②），此时AB与CD′交于点O，则cos∠OAD′=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：由∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D′CE′，易求得∠ACD′的度数，又由三角形外角的性质，求得∠AOD′的度数，然后由等腰三角形的性质，求得OA=OB=OC=2，继而求得OD′=3，然后由勾股定理求得AD′的长，继而求得答案．

解答：解：如图②，根据题意得：∠BCE′=15°，
∵∠D′CE′=60°，
∴∠D′EB=45°，
∴∠ACD′=90°-45°=45°，
∴∠AOD′=∠CAB+∠ACD′=90°，
∵AC=BC，AB=4，
∴OA=OB=2，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
又∵CD′=5，
∴OD′=CD′-OC=5-2=3，
∴AD′=

OA2+OD′2

=

13

，
∴cos∠OAD′=

OA

AD′

=

2 13

13

．
故答案为：

2 13

13

．

点评：此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．