Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是优弧BC上的一个动点，连结AD交BC于点E，连结BD.

（1）若AE=2，DE=8，求AC的长;

（2）若D是优弧BC上中点时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析.

【解析】

（1）根据AB=AC推出∠BAE=∠BAD，然后根据同弧推出∠BDA=∠BCA，则ABE~ABD，即可推出，即可求解AB；

（2）根据D是优弧BC上中点，推出,通过AB=AC推出AD为⊙O的直径，然后证明ACE~CDE, 推出，又CE=BC，即可证明.

解：（1）∵AB=AC

∴∠BAE=∠BAD

∵根据同弧

∴推出∠BDA=∠BCA

∴ABE~ABD

∴

∵AE=2，DE=8

∴

（2）如图

∵D是优弧BC上中点

∴

∴CD=BD

∵AB=AC

∴AD垂直平分BC

∴AD为⊙O的直径

∴∠ACD=∠CED=90°，∠1+∠2=∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3

∴ACE~CDE

∴

∴

又CE=BC

∴

∴