【题目】如图,抛物线的图象过点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及△PAC的周长;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,点
,周长为:
;(3)存在,点M坐标为
【解析】
(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点,故可设交点式
,把点C代入即求得a的值,减小计算量.
(2)由于点A、B关于对称轴:直线对称,故有
,则
,所以当C、P、B在同一直线上时,
最小.利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长,求直线BC解析式,把
代入即求得点P纵坐标.
(3)由可得,当两三角形以PA为底时,高相等,即点C和点M到直线PA距离相等.又因为M在x轴上方,故有
.由点A、P坐标求直线AP解析式,即得到直线CM解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标.
解:(1)∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得:
∴抛物线解析式为
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得的周长最小.
如图1,连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上,点A、B关于对称轴对称
∵当C、P、B在同一直线上时,最小
最小
设直线BC解析式为
把点B代入得:,解得:
∴直线BC:
∴点使
的周长最小,最小值为
.
(3)存在满足条件的点M,使得.
∵S△PAM=S△PAC
∴当以PA为底时,两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方
,设直线AP解析式为
解得:
∴直线
∴直线CM解析式为:
解得:(即点C),
∴点M坐标为
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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0)
(1)求证:无论m为任何非0实数,此方程总有两个实数根.
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5(m≠0)与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值.
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【题目】圆桌面(桌面中间有一个直径为1m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2m,桌面离地面1m,若灯泡离地面2m,则地面圆环形阴影的面积是( )
A. 2πm2 B. 3πm2 C. 6πm2 D. 12πm2
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【题目】九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表:
时间x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售价(元/件) | x+40 | 90 |
每天销量(件) | 200﹣2x | 200﹣2x |
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
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【题目】如图,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=﹣
x+4的图象交于A和B(6,n)两点.
(1)求k和n的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.
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【题目】如图,某单位要建一个面积为48 m2的小仓库,小仓库有一边靠墙(墙长10m),并在与墙平行的一边开一道宽1 m的门,现有能围成19 m的木板,求小仓库的长与宽?
(注意:仓库靠墙的那一边不能超过墙长).
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,D是优弧BC上的一个动点,连结AD交BC于点E,连结BD.
(1)若AE=2,DE=8,求AC的长;
(2)若D是优弧BC上中点时,求证:.
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【题目】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答:
(1)每千克茶叶应降价多少元?
(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=CG;
(2)求证:AG2=GE·GF.
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