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【题目】如图是一块含30°(即∠CAB30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕着点CCA顺时针以每秒2度的速度旋转到与ACB外接圆相切为止.在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E

1)当射线CPABC的外接圆相切时,求射线CP旋转度数是多少?

2)当射线CP分别经过ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?

3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BECE

【答案】(1)120°;(2)见解析

【解析】

1CP过△ABC外心时(即过O点)时,∠BCE60°,根据圆周角定理,则点E处的读数是120°;当CP过△ABC的内心时,即CP平分∠ACB,则∠BCE45°,根据圆周角定理,则点E处的读数是90°.

2)由于每次旋转的度数一样,所以旋转x秒后,∠BCE的度数为90°2x,从而得出∠BOE的度数,也即可得出yx的函数式.

3)根据已知,知旋转了15°,即可求得∠EBC=∠BCE75°,从而证明结论.

1)∵∠BCA90°,

∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆,

CP过△ABC外心时(即过O点),

∵∠CAB30°,

∴∠BCE60°,

∴∠BOE120°,即E处的读数为120

CP过△ABC的内心时,∠BCE45°,∠EOB90°,

E处的读数为90

2)旋转x秒后,∠BCE的度数为902x,∠BOE的度数为180°4x

故可得yx的函数式为:y180°4x

3)在图2中,当旋转7.5秒时,∠PCA2×7.5°=15°,∠ECA=∠EBA15°,

则∠BCE75°,

∵∠CAB30°,

∴∠ABC60°,

∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE75°,

BEEC

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