Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-4与直线y=x交于点A、B，M是抛物线上一个动点，连接OM．
（1）当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积；
（2）当点M在抛物线上，△OMB的面积为10时，求点M的坐标；
（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，△OMB的面积最大．

Answer 1

分析：（1）由y=x²-2x-4=（x-1）²-5，得到M的坐标为（1，-5），解方程组

y=x2-2x-4 y=x

，得A（-1，-1）
B（4，4），过点M作y轴的平行线与AB交于点N，易得N（1，1），由S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN即可得到答案．
（2）分类讨论：①当M在直线AB下方时，设M（x_m，x_m²-2x_m-4），则N（x_m，x_m），利S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB=10，得到关于m的方程，解方程即可得到M的坐标；②当M在直线AB上方时，同理可得M的坐标；
（3）设M（x_m，x_m²-2x_m-4），则N（x_m，x_m），通过面积公式得到S_△OMB=2（-x_m²+3x_m+4），根据二次函数的顶点式即可得到当x=

3

2

时，S_△OMB有最大值．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-4=（x-1）²-5，
∴当M是顶点时，M的坐标为（1，-5），
解方程组

y=x2-2x-4 y=x

，得A（-1，-1）B（4，4），
过点M作y轴的平行线与AB交于点N，易得N（1，1），如图，
∴S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN=

1

2

×6×1+

1

2

×6×3=12；

（2）①当M在直线AB下方时，
设M（x_m，x_m²-2x_m-4），则N（x_m，x_m）
S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB
=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×xm+

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×(4-xm)=10(2分)
解得x1=

3- 5

2

，x2=

3+ 5

2

，即M₁（

3- 5

2

，

-7- 5

2

）、M₂（

3+ 5

2

，

-7+ 5

2

）；

②当M在直线AB上方时，同理
M3(

3-3 5

2

，

13-3 5

2

)，M4(

3+3 5

2

，

13+3 5

2

)(2分)
纵上所述M₁（

3- 5

2

，

-7- 5

2

）、M₂（

3+ 5

2

，

-7+ 5

2

）；

M3(

3-3 5

2

，

13-3 5

2

)，M4(

3+3 5

2

，

13+3 5

2

)；

（3）设M（x_m，x_m²-2x_m-4），则N（x_m，x_m）
S△OMB=S△OMN+S△MNB=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×xm+

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×(4-xm)
=

1

2

×[xm-(

x

2 m

-2xm-4)]×4
=2（-x_m²+3x_m+4）
=-2(xm-

3

2

)2+

25

2

(2分)
∴当x=

3

2

时，S_△OMB有最大值．

点评：本题考查了二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k，其中h，k分别为顶点的横纵坐标．也考查了用坐标表示线段的长以及求两个函数图象的交点坐标的方法．