Question

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形．△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C．
（1）点B的坐标是

 

，点C的坐标是

 

；
（2）过点C的圆的切线交x轴于点D，则图中阴影部分的面积是

 

；
（3）若OH⊥AB于点H，点P在线段OH上．点Q在y轴的正半轴上，OQ=PH，PQ与OB交于点M．
①当△OPM为等腰三角形时，求点Q的坐标；
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）由于OA是等边三角形的边，又是圆的弦，过B点作OA的垂线，根据等边三角形的性质，可求B点坐标，连接AC，则∠OCA=∠OBA=60°，解直角△OCA可求OC．
（2）因为∠COA=90°，所以CA为直径，CD为圆的切线，∠OCA=60°，所以∠DCO=30°，解直角△OCD可求OD，取AC的中点（圆心）为O'，用阴影部分面积=△OCD面积+△OO'C面积-扇形OO'C面积可求解．
（3）①设点Q的坐标为（0，t），计算OH的长，△OPM为等腰三角形，有三种可能：OP=OM，OM=PM，OP=PM，根据每一种情况下的图形特征，分别求解．

解答：解：（1）过点B作OA的垂线，垂足为G，
∵A（2，0），∴OA=2，OG=

1

2

OA=1，
设B点坐标为（1，t），则

12+t2

=2，
∴t=

3

，∴B（1，

3

）（1分）
连接AC，
则∠OCA=∠OBA=60°，∴

OA

OC

=tan60°，
OC=

OA

tan60°

=

2

3

=

2 3

3

，
∴C（0，

2 3

3

）．

（2）∵∠COA=90°，
∴CA为直径，
又∵CD为圆的切线，∠OCA=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=tan∠DCO•OC=

3

3

×

2 3

3

=

2

3

，
∵AC是⊙O的直径，BG为△OAB的边OA的中线，
∴O′为△ABC外接圆的圆心，
∵∠OCA=60°，∴∠OCA=30°，∠OO′C=60°，
S_阴影=S_△OCD+S_△OO'C-S_扇形OO'C=

1

2

×

2

3

×

2 3

3

+

1

2

×

2 3

3

×1-

60π× 2 3 3

180

=

5 3 -2π

9

．

（3）①设点Q的坐标为（0，t），
OH=OA×cos60°=

3

，
（I）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
过点P做PE⊥OA，垂足为E，则有：OE=

3

EP，
即t-

1

2

（

3

-t）=

3

2

（

3

-t），
解得：t=1，即点Q的坐标为（0，1）．
（II）若OM=PM，则∠MOP=∠MPO=30°，
∴PQ∥OA，从而OQ=0.5OP，
即t=

1

2

（

3

-t），
解得t=

3

3

即点的坐标为（0，

3

3

），
（III）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠COB，此时PQ∥OC，不满足题意．
②线段OM的长的最大值为

3

4

．

点评：本题考查了正三角形与圆，圆的切线性质，等腰三角形条件的探求方法，面积求法及分类讨论的思想，具有较强的综合性．