Question

10．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，有下列结论：
①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得∠ABC=∠C=60°，AC=BC=5，再利用旋转的性质得∠BAE=∠C=60°，AE=CD，则∠BAE=∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE=60°，BD=BE=4，则根据边三角形的判定方法得到△BDE为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，DE=DB=4，然后说明∠BDC＞60°，则∠ADE＜60°，于是可对②进行判断；最后利用AE=CD，DE=BD=4和三角形周长定义可对④进行判断．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC=5，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE=60°，BD=BE=4，
∴△BDE为等边三角形，所以③正确，
∴∠BDE=60°，DE=DB=4，
在△BDC中，∵BC＞BD，
∴∠BDC＞∠C，即∠BDC＞60°，
∴∠ADE＜60°，所以②错误；
∵AE=CD，DE=BD=4，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=5+4=9，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．