Question

4．在△MNC，NC=m，MC=n，MN=c，且满足：k=$\frac{m+3}{c-n}$=$\frac{m（m-1）}{n+c}$．
（1）求证：k=$\frac{{m}^{2}+3}{2c}$；
（2）求证：c＞n；
（3）当k=2时，证明：MN是的△MNC最大边．

Answer 1

分析 （1）将已知比例式化为乘积式得：m+3=k（c-n），m（m-1）=k（n+c），两式相加后化成比例式可得结论；
（2）先根据条件得：k＞0，由式子$\frac{m+3}{c-n}$＞0和m+3＞0得：c-n＞0，则c＞n；
（3）将k=2代入已知比例式中，化为乘积式后列方程组，可得：c＞m，则c是△MNC的最大边，即MN是的△MNC最大边．

解答 证明：（1）∵k=$\frac{m+3}{c-n}$=$\frac{m（m-1）}{n+c}$，
∴m+3=k（c-n），m（m-1）=k（n+c），
∴m+3+m（m-1）=k（c-n）+k（n+c），
∴m²+3=2kc，
∴k=$\frac{{m}^{2}+3}{2c}$；
（2）∵k=$\frac{{m}^{2}+3}{2c}$，c＞0，m²+3＞0，
∴k＞0，
∴$\frac{m+3}{c-n}$＞0，
∵m+3＞0，
∴c-n＞0，
∴c＞n；
（3）∵k=2，
∴$\frac{m+3}{c-n}$=$\frac{m（m-1）}{n+c}$=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+3=2c-2n①}\\{{m}^{2}-m=2n+2c②}\end{array}\right.$，
②-①得：m²-2m-3=4n＞0，
∴（m-3）（m+1）＞0，
∵m+1＞0，
∴m-3＞0，
∴m＞3，
①+②得：m²+3=4c，
∴m²-4m+3=4c-4m，
（m-3）（m-1）=4c-4m，
∵$\frac{m（m-1）}{n+c}$=2，m＞0，n+c＞0，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
∴4c-4m＞0，
∴c＞m，
由（2）得：c＞n，
∴c是△MNC的最大边，
即：MN是的△MNC最大边．

点评 本题是三角形的综合题，考查了比例的性质、不等式和等式的性质、因式分解，第3问有难度，应用二次三项式的因式分解与同号得正数的原理解决问题，本题熟练掌握比例的性质是关键．