Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：

①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③PD=EC;④△APD一定是等腰三角形．

其中正确的结论有( )．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】由四边形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH=CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE=PF，利用三角形全等可以得出AP=EF，∠PFE=∠BAP，由勾股定理可以得出PD=PF，可以得出PD=EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP=AD、PA=PD或DA=DP时才成立，故可以得出答案．

作PH⊥AB于H，

∴∠PHB=90°，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，

∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，

∴四边形BEPH为正方形，

∴BH=BE=PE=HP，

∴AH=CE，

∴△AHP≌△FPE，

∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，

故①、②正确，

在Rt△PDF中，由勾股定理，得

PD=PF，

∴PD=CE．

故③正确．

∵点P在BD上，

∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．

∴△APD是等腰三角形只有三种情况．

故④错误，

∴正确的个数有3个．

故选C．