Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2

3

．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：几何综合题

分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B=

1

2

∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=

1

2

BD=

3

，
∵sin∠COD=

DE

OD

，
∴OD=2，
在Rt△ACO中，tan∠COA=

AC

OC

，
∴AC=2

3

，
∴S_阴影=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2π

3

．

点评：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．