【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17,抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为( 、 ),BK的长是 ,CK的长是 ;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【答案】(1)①10,0,8,10;②(4,8);③y=x2﹣3x+5.(2)不变.S1S2=189.
【解析】
试题分析:(1)①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题.②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题.③设OA=AF=x,在RT△ACF中,AC=8﹣x,AF=x,CF=4,利用勾股定理即可解决问题.
(2)不变.S1S2=189.由△GHN∽△MHG,得,得到GH2=HNHM,求出GH2,根据S1S2=OGHNOGHM即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10,
∴点B坐标(10,0),
∵四边形OBKC是矩形,
∴CK=OB=10,KB=OC=8,
故答案分别为10,0,8,10.
②在RT△FBK中,∵∠FKB=90°,BF=OB=10,BK=OC=8,
∴FK==6,
∴CF=CK﹣FK=4,
∴点F坐标(4,8).
③设OA=AF=x,
在RT△ACF中,∵AC2+CF2=AF2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
∴x=5,
∴点A坐标(0,5),代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5,
∴抛物线为y=x2﹣3x+5.
(2)不变.S1S2=189.
理由:如图2中,在RT△EDG中,∵GE=EO=17,ED=8,
∴DG==15,
∴CG=CD﹣DG=2,
∴OG==2,
∵CP⊥OM,MH⊥OG,
∴∠NPN=∠NHG=90°,
∵∠HNG+∠HGN=90°,∠PNM+∠PMN=90°,∠HNG=∠PNM,
∴∠HGN=∠NMP,
∵∠NMP=∠HMG,∠GHN=∠GHM,
∴△GHN∽△MHG,
∴,
∴GH2=HNHM,
∵GH=OH=,
∴HNHM=17,
∵S1S2=OGHNOGHM=(2)217=289.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;
(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?
(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,
(1)根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写画法):
①作∠BAC的平分线AD交BC于D;
②作线段AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,垂足为H;
③连接ED.
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形:△ ≌△ 并加以证明.
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【题目】在学校开展的“爱我中华”的一次演讲比赛中,编号1,2,3,4,5,6的五位同学最后成绩如表所示.那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是( )
参赛者编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
成绩/分 | 95 | 88 | 90 | 93 | 88 | 92 |
A. 92,88 B. 88,90 C. 88,92 D. 88,91
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【题目】在直角坐标系中描出下列各组点,并将各组的点用线段依次连接起来.
(1)(1,0),(6,0),(6,1),(5,0),(6,-1),(6,0);
(2)(2,0),(5,3),(4,0);
(3)(2,0),(5,-3),(4,0).
观察所得到的图形像什么?
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【题目】如图,已知A,B是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过P作PM⊥x轴,垂足为M.设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于x的函数图象大致为( )
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【题目】如图,在所给正方形网格图中完成下列各题:(用直尺画图,保留痕迹)
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1;
(2)在DE上画出点Q,使QA+QC最小.
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