Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）DF与⊙O的位置关系是______（填“相切”或“相交”）．
（2）若AE=14，BC=12，BF的长为______．

Answer 1

解：（1）DF与⊙O的位置关系是相切．
证明：连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠DAC；
∵∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，
∴∠C=∠BED，
∴∠B=∠BED，
即DE=DB；
∵点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，
∴∠DAC=∠BAD=∠ODA，
∴OD⊥DF，DF是⊙O的切线；

（2）设BF=x，BE=2BF=2x；
∵BD=CD=BC=6，
∵BE•AB=BD•BC，
∴2x•（2x+14）=6×12，
∴x²+7x-18=0，
∴x₁=2，x₂=-9（不合题意，舍去）
∴BF的长为2．
分析：（1）连接OD、AD，根据已知及圆内接四边形的性质，得OD是半径且OD⊥DF，从而得到DF是⊙O的切线．
（2）设BF=x，BE=2BF=2x，根据切割线定理即可求得BF的长．
点评：本题利用了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，切线的定义，切割线定理求解．