Question

12．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），在AB的同侧以AD为边作△ADE使其为等边三角形，连接CE．

（1）如图1，求证：CE∥AB；
（2）当点D为BC的中点时，如图2，求AF：CF的值；
（3）当点D为BC的中点时，作∠ACB的平分线，交DE于点G，如图3，请写出BD、DG、GE三条线段之间的数量关系，并加以说明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，求出∠BAD=∠CAE，根据SAS推出△BAD≌△CAE，根据全等得出∠ACE=∠ABD=60°，求出∠ACE=∠CAB=60°即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AD平分∠CAB，AD⊥BC，求出AF⊥DE，设AB=2k，根据勾股定理求出AD，求出DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，根据勾股定理求出AF=$\frac{3}{2}$k，即可得出答案；
（3）求出CE=BD=CD，在Rt△ECG中，由勾股定理求出EC²+CG²=EG²，求出CG=DG，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAB=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ACE=∠ABD=60°，
即∠ACE=∠CAB=60°，
∴CE∥AB；

（2）解：∵点D是BC的中点，
∴AD平分∠CAB，AD⊥BC，
∴AC平分∠DAE，
∴AF⊥DE，
设AB=2k，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=$\sqrt{（2k）^{2}-{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，
在Rt△AFD中，DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，由勾股定理得AF=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}k）^{2}}$=$\frac{3}{2}$k，
∴CF=2k-$\frac{3}{2}$k=$\frac{1}{2}$k，
∴AF：CF=$\frac{3}{2}$k：$\frac{1}{2}$k=3；

（3）解：BD²+DG²=EG²，
理由是：
由（1）知∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，
∵CG平分∠ACB，∠ACG=30°，
∴∠ECG=90°，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得EC²+CG²=EG²，
∵CE=BD=CD，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠DCG=∠CDG=30°，CG=DG，
∴BD²+DG²=EG²．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．