Question

【题目】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一动点，点E从点B向点D运动(与点B，D不重合)，过点E作直线GH∥BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE，交CD(或CD的延长线)于点F.

(1)如图①，求证：△AGE≌△EHF.

(2)在点E的运动过程中(如图①，②)，四边形AFHG的面积是否会发生变化?请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形AFHG的面积不会发生变化，都是；理由见解析.

【解析】

（1）根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC可证明AGHD是矩形，∠AGE=∠EHF=90°，AG=DH，△GBE是等腰直角三角形，可得DH=HE，即可证明AG=EH，利用EF⊥AE及直角三角形两锐角互余的关系可得∠AEG=∠EFH，根据AAS即可证明△AGE≌△EHF；

（2）分两种情况进行讨论：①当点E运动到BD的中点时，可得四边形AFHG是矩形，可得S四边形AFHG=；②当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFHG是直角梯形，由（1）知，△AGE≌△EHF，图②时，同（1）的证明方法可得△AGE≌△EHF，S四边形AFHG=（FH+AG）GH=，然后即可得出结论．

(1)∵四边形ABCD是正方形，GH∥BC,

∴AGHD是矩形，

∴∠AGE=∠EHF=90°，AG=DH，

∵BD是对角线，

∴∠HDE=45°，

∴△EHD是等腰直角三角形，

∴DH=HE，

∴AG=EH.

∵EF⊥AE，

∴∠AEG+∠FEH=90°.

∵∠EFH+∠FEH=90°，

∴∠AEG=∠EFH.

在△AGE和△EHF中，，

∴△AGE≌△EHF(AAS).

(2)四边形AFHG的面积不会发生变化.

理由：①当E运动到BD的中点时，F与D重合，

∴四边形AFHG是矩形，

∵E为BD中点，GH//BC，

∴DH=CD=，

∴S四边形AFHG=，

②当E不在BD的中点时，在点E的运动(与点B、D不重合)过程中，四边形AFHG是直角梯形.

由(1)知图①中△AGE≌△EHF，

如图②，∵ABCD是正方形，GH//BC，

∴AGHD是矩形，

∴AG=HD，∠AGE=∠EHF=90°，

∵E在对角线BD上，

∴∠EDH=45°，

∴△EDH是等腰直角三角形，

∴EH=HD，

∴AG=EH，

∵EF⊥AE，

∴∠AEG+∠FEH=90°，

∵∠F+∠FEH=90°，

∴∠AEG=∠F，

在△AGE和△EHF中，，

∴△AGE≌△EHF(AAS).

∴FH=EG=BG，

∴FH+AG=BG+AG=AB=1.

∴S四边形AFHG=(FH+AG)·GH=.

综上所述，四边形AFHG的面积不会发生变化，都是.