Question

【题目】已知：O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E.

(1)如图1，求证：EAEC=EBED；

(2)如图2,若AB=BC，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；

(3) 如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) BC =4.

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；
（3）如图3，连接AO并延长交O于F，连接DF得到AF为O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．

(1)证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴=，
∴EAEC=EBED；
(2)证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F

∵B是弧AC的中点,
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC.
又∵AD为O直径，
∴∠ABD=90°,又∠CFB=90°.
∴△CBF∽△ABD.
∴=，故CFAD=BDBC.
∴ACAD=2BDBC；
(3)如图3,连接AO并延长交O于F,连接DF,

∴AF为O的直径，
∴∠ADF=90°，
过O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH,OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴弧BC=弧DF，
∴BC=DF=4.