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【题目】我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心.重心有如下性质:重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍.请利用该性质解决问题

1)如图1,在△ABC中,AFBE是中线,AFBEP.若BP2,∠FAB30°,则EP   FP   

2)如图1,在△ABC中,BCaACbABcAFBE是中线,AFBEP.猜想a2b2c2三者之间的关系并证明;

3)如图2,在ABCD中,点EFG分别是ADBCCD的中点,BEBGAB3AD2,求AF的长.

【答案】11;(2a2+b25c2,理由见解析;(3AF4

【解析】

1)由三角形的重心定理得出BP2EP2AP2FP,得出EP1,由直角三角形的性质得出APBP2,即可得出FPAP

2)设PFmPEn,由 ,得到AP2mPB2n,再由勾股定理即可得出结论;

3)连接ACEC,由平行四边形的性质得出ADBCADBC,证明四边形AFCE是平行四边形,得出AFCE,由平行线得出△AEQ∽△CBQ,得出,设AQaEQb,则CQ2aBQ2b,证明EG是△ACD的中位线,由三角形中位线定理得出EGAC,得出BEAC,由勾股定理得得出方程,求出a2,得出BQ24b2b2,在RtEQC中,由勾股定理求出CE,即可得出AF的长.

解:(1)∵在△ABC中,AFBE是中线,

BP2EP2AP2FP

EP1

AFBE,∠FAB30°

AB=2BP=4

AP

FPAP

故答案为:1

2a2+b25c2;理由如下:

连接EF,如图1所示:

AFBE是△ABC的中线,

EF是△ABC的中位线,

EFAB,且EFABc

PFmPEn

AP2mPB2n

RtAPB中,(2m2+2n2c2,即4m2+4n2c2

RtAPE中,(2m2+n2=(b2,即4m2+n2b2

RtFPB中,m2+2n2=(a2,即m2+4n2a2

5m2+5n2a2+b2)=c2

a2+b25c2

3)连接ACEC,如图2所示:

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBCADBC

∵点EF分别是ADBCCD的中点,

AECE

∴四边形AFCE是平行四边形,

AFCE

ADBC

∴△AEQ∽△CBQ

AQaEQb,则CQ2aBQ2b

∵点EG分别是ADCD的中点,

EG是△ACD的中位线,

EGAC

BEEG

BEAC

由勾股定理得:AB2AQ2BC2CQ2

9a2=(224a2

3a211

a2

BQ24b2=(22

b2×

RtEQC中,CE2EQ2+CQ2b2+4a216

CE4

AF4

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