Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据等角对等边得出OB＝OC，根据平行四边形性质求出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可．

（2）根据矩形的性质和∠CBE＝3∠ABE，得出∠ABE＝22.5°，在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x，构建方程即可解决问题．

（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，

∴AC＝BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠CBE＝3∠ABE，

∴∠ABE＝×90°＝22.5°，

∵BE⊥AO，

∠BAE=90°-∠ABE=67.5°，

在EB上取一点H，使得EH＝AE，

∴∠HAE=∠AHE=45°，

∴∠BAH=∠BAE-∠HAE=22.5°，

∴∠BAH=∠ABE=22.5°，

∴AH＝BH，

设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝=x，

∵BE＝2，

∴x+x＝2，

∴x＝．