Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，⊙O的半径为1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；
（2）根据平行四边形的对边相等的性质和三角形的面积公式进行解答．

解答：（1）证明：连接OD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=

1

2

．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵四边形OCED是平行四边形，
∴OC=DE，
∴BC=2DE=2OC=2×1=2．AC=2OC=2，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×2×2=2．

点评：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、直角三形的性质等几何知识点的考查；该命题以圆为载体，以切线的判定为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．