【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA,根据等腰三角形的性质可得AB=BE;(2)易证△ABE是等边三角形,根据等边三角形的性质可得AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,再由AAS证明△ADF≌△ECF,即△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AEBF,即可得出结果.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,
∴∠B+∠C=180°,∠AEB=∠DAE,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,∴BE=CD;
(2)解:∵AB=BE,∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=4,
∵BF⊥AE,
∴AF=EF=2,
∴BF=,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,
在△ADF和△ECF中,
,
∴△ADF≌△ECF(AAS),
∴△ADF的面积=△ECF的面积,
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AEBF=×4×2=4.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相离或相交
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【题目】已知圆O的半径为3cm,点P是直线l上的一点,且OP=3cm,则直线l与圆O的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定
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【题目】如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
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【题目】(2016广东省梅州市第15题)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则点B2016的坐标[来为______________.
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【题目】(2016湖北省荆州市第25题)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
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