Question

17．已知如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，在等腰△BCD中，BC=BD，BD、AC相交于E，AD∥BC，求证：CD=CE．

Answer 1

分析 作梯形的双高，把四边形问题转化为三角形问题，只要证明∠DBM=30°即可解决问题．

解答 证明：作AN⊥BC于N，DM⊥BC于M，则AN∥DM，
∵AD∥BC，
∴四边形ANMD是平行四边形，
∵∠ANM=90°，
∴DM=AN，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=2AN=2DM，
∵BD=BC，
∴BD=2DM，
∵∠DMB为直角，
∴∠DBC=30°，
∴∠DEC=45°+30°=75°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBC）=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠DEC=∠EDC，
∴CE=CD．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，含30度角的直角三角形性质，矩形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题解决问题，属于中考常考题型．