Question

13．已知：AB=2，AC平分∠DAB，∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB=120°，当∠ABD=∠CBF时，则AC=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠ABD=∠ACD，再由已知条件和圆内接四边形的性质得出∠ACD=∠ADC，由三角形内角和定理求出∠ACD=∠ADC=75°，得出∠ACB=45°，作BM⊥AC于M，则∠AMB=∠CMB=90°，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，AM=$\sqrt{3}$，得出△CBM是等腰直角三角形，因此CM=BM=1，即可得出AC的长．

解答 解：∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，∠DAB=180°-∠DCB=60°，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠ABD=∠CBF，
∴∠ACD=∠CBF，
∵∠CBF=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠ACB=120°-75°=45°，
作BM⊥AC于M，如图所示：
则∠AMB=∠CMB=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，△CBM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，CM=BM=1，
∴AC=AM+CM=$\sqrt{3}$+1；
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四点共圆和作辅助线运用特殊直角三角形的性质是解决问题的关键．