Question

7．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AD=2．
（1）判断△AOD的形状；
（2）求对角线AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得∠ADC=90°，AO=OD=OC=OB，则∠DAC=90°-∠ACD=60°，于是可判断△AOD为等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质得AO=AD=2，然后根据矩形的性质得AC=BD=2AO=4．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，AO=OD=OC=OB，
∵∠ACD=30°，
∴∠DAC=90°-30°=60°，
而OA=OD，
∴△AOD为等边三角形；
（2）∵△AOD为等边三角形，
∴AO=AD=2，
∴AC=BD=2AO=4．

点评 本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质．