【题目】如图,直线y=-x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B,C和点A(-1,0).
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求该二次函数的解析式.
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标.
【答案】(1)B(4,0),C(0,2);(2)y=-x2+x+2;(3)存在,P1(,4),P2(),P3(,-);(4)当a=2时,S四边形CDBF的最大值=,此时E(2,1).
【解析】
(1)分别令解析式y=-x+2中x=0,y=0,求出点B,点C的坐标;
(2)二次函数的解析式为,将点A、B、C的坐标代入解析式,求出a,b,c的值,进而求出二次函数的解析式;
(3)由(2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于,以点D为圆心,CD为半径作圆交对称轴于,,作CE垂直对称轴于点E,由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论;
(4)设点E的坐标为,就可以表示出F的坐标,由求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.
解:(1)在y=-x+2中,令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,
即B(4,0),C(0,2).
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
将点A,B,C的坐标代入解析式,得
,
解得
即该二次函数的解析式为y=-x2+x+2.
(3)存在.∵y=-x2+x+2,
∴y=-(x-)2+,
∴抛物线的对称轴是直线x=,∴OD=.
∵C(0,2),∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD=.
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=DP2=DP3=CD.
如图①所示,作CH⊥对称轴于点H,∴HP1=HD=2,
∴DP1=4.
∴P1(,4),P2(),P3(,-).
(4)∵B(4,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为y=-x+2.
如图②,过点C作CM⊥EF于点M,
设E(a,-a+2),F(a,-a2+a+2),
∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN
=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)
=-a2+4a+
=-(a-2)2+,
∴当a=2时,S四边形CDBF的最大值=,此时E(2,1).
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【题目】对垃圾进行分类投放,能提高垃圾处理和再利用的效率,减少污染,保护环境.为了检查垃圾分类的落实情况,某居委会成立了甲、乙两个检查组,采取随机抽查的方式分别对辖区内的A,B,C,D四个小区进行检查,并且每个小区不重复检查.
(1)甲组抽到A小区的概率是多少;
(2)请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区,同时乙组抽到C小区的概率.
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【题目】王妈妈在莲花商场里购买单价总和是90元的商品甲、乙、丙共两次,其中甲的单价是20元,乙的单价是40元,甲商品第一次购买的数量是第二次购买数量的两倍,乙商品第一次购买的数量与丙商品第二次购买的数量相等,两次购买商品甲、乙、丙的数量和总费用如下表:
购买商品甲的 数量(个) | 购买商品乙的 数量(个) | 购买商品丙的 数量(个) | 购买总费用(元) | |
第一次购物 | 4 | 440 | ||
第二次购物 | 7 | 490 |
(1)求两次购买甲、乙、丙三种商品的总数量分别是多少?
(2)由于莲花商场物美价廉,王妈妈打算第三次前往购买商品甲、乙、丙,设三种商品的数量总和为a个,其中购买乙商品数量是甲商品数量的3倍,购买总费用为1 280元,求a的最小值.
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【题目】如图①,在中,点分别在上,且.设的边上的高为,的边上的高为.
(1)若、的面积分别为3,1,则 ;
(2)设、、四边形的面积分别为,求证:;
(3)如图②,在中,点分别在上,点在上,且, . 若、、的面积分别为3, 7, 5,求的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(k>0,x>0)的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E,若菱形OACD的边长为3,则k的值为_____.
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【题目】“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
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【题目】如图,已知⊙经过两点,,点是弧AB的中点,连接交弦于点,.
(1)求⊙的半径;
(2)过点分别作的平行线,交于点是⊙上一点,连接交⊙于点,且时,求的值.
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【题目】如图,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为的多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为( )
A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1
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