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【题目】如图,直线y=-x+2x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点BC和点A(-10)

(1)BC两点的坐标.

(2)求该二次函数的解析式.

(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

(4)E是线段BC上的一个动点,过点Ex轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标.

【答案】1B(40)C(02);(2y=-x2+x+2;(3)存在,P1(4)P2()P3(-);(4)当a=2时,S四边形CDBF的最大值=,此时E(21)

【解析】

1)分别令解析式y=-x+2x=0y=0,求出点B,点C的坐标;

2)二次函数的解析式为,将点ABC的坐标代入解析式,求出abc的值,进而求出二次函数的解析式;

3)由(2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于,以点D为圆心,CD为半径作圆交对称轴于,作CE垂直对称轴于点E,由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论;

4)设点E的坐标为,就可以表示出F的坐标,由求出Sa的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.

解:(1)y=-x+2中,令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4

B(40)C(02)

(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

将点ABC的坐标代入解析式,得

解得

即该二次函数的解析式为y=-x2+x+2

(3)存在.∵y=-x2+x+2

y=-(x-)2+

∴抛物线的对称轴是直线x=,∴OD=

C(02),∴OC=2

RtOCD中,由勾股定理,得CD=

∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形,

CP1=DP2=DP3=CD

如图①所示,作CH⊥对称轴于点H,∴HP1=HD=2

DP1=4

P1(4)P2()P3(-)

(4)B(40)C(02)

∴直线BC的解析式为y=-x+2

如图②,过点CCMEF于点M

E(a-a+2)F(a-a2+a+2)

EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)

S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN

=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)

=-a2+4a+

=-(a-2)2+

∴当a=2时,S四边形CDBF的最大值=,此时E(21)

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数量()

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数量()

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