【题目】如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且CD2=ADBC.
(1)求证:△APD∽△PBC;
(2)求∠APB的度数.
【答案】(1)见解析;(2)120°
【解析】
(1)CD2=ADBC可得AD:PC=PD:BC,又由△PCD是等边三角形,所以可求出∠ADP=∠BCP=120°,进而证明△ACP∽△PDB;
(2)由△APD∽△PBC,可得∠APD=∠B,则可求得∠APB的大小.
(1)证明:∵△PCD是等边三角形,
∴PD=PC=DC,∠PDC=∠PCD=60°,
∴∠ADP=∠BCP=120°,
∵CD2=ADBC,
∴AD:PC=PD:BC,
∴△APD∽△PBC;
(2)∵△APD∽△PBC,
∴∠APD=∠B,
∵∠B+∠BPC=60°,
∴∠APD+∠BPC=60°,
∴∠APB=60°+∠DPC=120°.
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【题目】根据农业部提出“大力发展农村产业,实现乡村全面振兴”的方针,我市精确扶贫,指导某县大力发展大五星枇杷种植,去年、今年枇杷产量连续获得大丰收,该县枇杷销售采用线下销售和线上销售两种模式.
(1)今年该县种植专业户大五星枇杷产量为4500千克,全部售出,其中线上销售量不超过线下销售的4倍,求该种植专业户线下销售量至少多少千克?
(2)该种植专业户去年大五星枇杷线下销售均价为10元/千克,销售量为900千克,线上销售均价为8元/千克,销售量为1800千克,今年线下销售均价上涨,但销售量下降了,线上销售均价上涨了,销量与去年持平,今年大五星枇杷的销售总额比去年销售总额减少了,求的值.
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【题目】在一张矩形纸片中,,,现将这张纸片按下列图示方法折叠,请解决下列问题:
(1)如图①,折痕为,点的对应点在上,求证:四边形是正方形;
(2)如图②,、分别为、的中点,把矩形纸片沿着剪开,变成两张矩形纸片,将两张纸片任意叠合后(如图③),判断重叠四边形的形状,并证明;
(3)在(2)中,重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值?若存在,请求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知⊙O半径为1,若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB=60°,则称点P是⊙O的领域点.
(1)对以下情况,用三角板或量角器尝试画图,并判断点P是否是⊙O的领域点(在横线上填“是”或“不是”).
①当OP=1.2时, 点P ⊙O的领域点 | ②当OP=2时, 点P ⊙O的领域点 | ③当OP=3时, 点P ⊙O的领域点 |
(2)若点P是⊙O的领域点,则OP的取值范围是 ;
(3)如图,以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,设直线y=﹣x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点M、N.
①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点,求b的值;
②若线段MN上存在⊙O的领域点,求b的取值范围.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(1,0)和点B (0,-3),与x轴交于另一点C。
(1)求抛物线的解析式。
(2)在抛物线上是否存在一点D,使△ACD的面积与△ABC的面积相等(点D不与点B重合)?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是抛物线对称轴上的动点,那么是否存在这样的点P,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线经过点和.
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)把该抛物线向 (填“上”或“下”)平移 个单位长度,得到的抛物线与轴只有一个公共点;
(3)平移该抛物线,使平移后的抛物线经过点,且与轴交于点,同时满足以,,为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.
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【题目】如图,是正内一点,,,,将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段,下列结论:①可以由绕点逆时针旋转得到;②点与的距离为6;③;④;⑤. 其中正确的结论是______(填序号).
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