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【题目】月电科技有限公司用160万元,作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元).(注:若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本.)

(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;

(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值.

(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.

【答案】(1)y=;(2)当每件的销售价格定为16元时,第一年年利润的最大值为﹣16万元;(3)图见解析,当11≤x≤21时,第二年的年利润s不低于103万元.

【解析】试题分析:(1)依据待定系数法,即可求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;

(2)分两种情况进行讨论,当x=8时,zmax=-80;当x=16时,zmax=-16;根据-16>-80,可得当每件的销售价格定为16元时,第一年年利润的最大值为-16万元.

(3)根据第二年的年利润z=(x-4)(-x+28)-16=-x2+32x-128,令z=103,可得方程103=-x2+32x-128,解得x1=11,x2=21,然后在平面直角坐标系中,画出zx的函数图象,根据图象即可得出销售价格x(元/件)的取值范围.

试题解析:(1)当4≤x≤8时,设y=,将A(4,40)代入得k=4×40=160,

yx之间的函数关系式为y=

8<x≤28时,设y=k'x+b,将B(8,20),C(28,0)代入,

: ,解得

yx之间的函数关系式为y=﹣x+28,

综上所述,y=

(2)当4≤x≤8时,s=(x﹣4)y﹣160=(x﹣4)﹣160=﹣

∵当4≤x≤8时,s随着x的增大而增大,

∴当x=8时,smax=﹣=﹣80;

8<x≤28时,s=(x﹣4)y﹣160=(x﹣4)(﹣x+28)﹣160=﹣(x﹣16)2﹣16,

∴当x=16时,smax=﹣16;

﹣16>﹣80,

∴当每件的销售价格定为16元时,第一年年利润的最大值为﹣16万元.

(3)∵第一年的年利润为﹣16万元,

16万元应作为第二年的成本,

又∵x>8,

∴第二年的年利润s=(x﹣4)(﹣x+28)﹣16=﹣x2+32x﹣128,

s=103,则103=﹣x2+32x﹣128,

解得x1=11,x2=21,

在平面直角坐标系中,画出sx的函数示意图可得:

观察示意图可知,当s≥103时,11≤x≤21,

∴当11≤x≤21时,第二年的年利润s不低于103万元.

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