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【题目】如图,直线ABx轴交于点A40),与y轴交于点B0,-4),若点E在线段AB上,OEOF,且OEOF,连接AF.

1)猜想线段AFBE之间的关系,并证明;

2)过点OOMEF垂足为D,OM分别交AFBA的延长线于点CMBE=,求CF的长.

【答案】(1) AF=BE,证明见解析 2CF=

【解析】

(1)由已知可得:∠FOE=AOB=90°,减去公共角∠AOE可得:∠FOA=EOB,又因为OE=OF,OA=OB,可证FOAEOB,即可得AFBE相等.

2)由(1)可得∠FAO=OBA=OAB=45°,可得∠FAE=90°,由A,B坐标可求得AB=4,又AF=BE=,得AE的长.连接EC,根据等腰三角形的三线合一可得OM垂直平分EF,则FC=EC,设FC=EC=x,则AC=,在直角三角形AEC中,根据勾股定理列出方程,代入数值即可求得CF的长.

(1) AF=BE,证明:

∵直线ABx轴交于点A40),与y轴交于点B0,-4

OA=OB=4

OEOF

∴∠FOE=AOB=90°

∴∠FOE-AOE=AOB-AOE

即∠FOA=EOB

FOAEOB

FOAEOBSAS

AF=BE

2)连接EC.

OA=OB=4,∠AOB=90°

∴∠OBA=OAB=45°AB=4

由(1)得:FOAEOB

∴∠FAO=OBA=OAB=45°AF=BE=

∴∠FAE=90°AE=

OE=OF OMEF

OM垂直平分EF

FC=EC

FC=EC=x,则AC=

根据勾股定理得:

解得

CF=

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