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【题目】如图,矩形ABCD中,OAC的中点,过点O的直线分别与ABCD交于点EF,连接BFAC于点M,连接DEBO.若∠COB60°FOFC,则下列结论:①FBOCOMCM②△EOB≌△CMB③四边形EBFD是菱形;④MBOE32.其中正确结论的个数是(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】连接BD,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD,AC、BD互相平分,

∵OAC中点,

∴BD也过O点,

∴OB=OC,

∵∠COB=60°,OB=OC,

∴△OBC是等边三角形,

∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,

在△OBF与△CBF中,

∴△OBF≌△CBF(SSS),

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,

∴FB⊥OC,OM=CM;

∴①正确,

∵∠OBC=60°,

∴∠ABO=30°,

∵△OBF≌△CBF,

∴∠OBM=∠CBM=30°,

∴∠ABO=∠OBF,

∵AB∥CD,

∴∠OCF=∠OAE,

∵OA=OC,

易证△AOE≌△COF,

∴OE=OF,

∴OB⊥EF,

∴四边形EBFD是菱形,

∴③正确,

∵△EOB≌△FOB≌△FCB,

∴△EOB≌△CMB错误.

∴②错误,

∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,

MB=OF=

∵OE=OF,

∴MB:OE=3:2,

∴④正确;

故选C.

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