Question

如图，抛物线y=x²+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，c），且满足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由

Answer 1

1）抛物线的解析式是y=x²-2x-3；（2）能；点P的坐标是（，-），（，-）．

【解析】（1）依题意：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，∵x₁²+x₂²+x₁x₂=7，∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，

∴（-m）²-（m-1）=7，即m²-m-6=0，解得m₁=-2，m₂=3，∵c=m-1＜0，∴m=3不合题意

∴m=-2抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）能

如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．

若∠POC=∠PCO，则PD应是线段OC的垂直平分线，∵C的坐标为（0，-3），

∴D的坐标为（0，-），∴P的纵坐标应是-，令x²-2x-3=-，解得，x₁=，x₂=，因此所求点P的坐标是（，-），（，-）．