Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-4x+k+1=0
（1）若x=-1是方程的一个根，求k值和方程的另一根；
（2）设x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使得x₁x₂＞x₁+x₂成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由x=-1是方程的一个根，将其代入关于x的一元二次方程x²-4x+k+1=0，即可求得k的值，然后由根与系数的关系，求得方程的另一根；
（2）由x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根，可得△≥0，即可求得k≤3，然后由根与系数的关系可得当x₁x₂＞x₁+x₂成立时，k＞3，则可得不存在．

解答 解：（1）∵x=-1是方程的一个根，
∴（-1）²-4×（-1）+k+1=0，
解得：k=-6，
设方程的另一根为α，
∴-1+α=4，
解得：α=5，
∴方程的另一根是5．                          

（ 2 ） 不存在．
理由：由题意得△=16-4（k+1）≥0，解得k≤3．
∵x₁，x₂是一元二次方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k+1，
由x₁x₂＞x₁+x₂，
得k+1＞4，
∴k＞3，
∴不存在实数k使得x₁x₂＞x₁+x₂成立．

点评 此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△≥0，方程有实数根．