Question

2．如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，且AF=AD，EF⊥AP交CD于点E，G为CB延长线上一点，BG=DE．
（1）求证：∠PAG=∠BAP+$\frac{1}{2}$∠DAP；
（2）若DE=2，AB=4，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，先由HL证明Rt△ADE≌Rt△AFE，得出∠DAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DAP，再证明△ADE≌△ABG，得出∠DAE=∠BAG，即可得出结论；
（2）设CP=x，作EH∥AD交AB于H，连接EF；先证明EH是梯形ADCP的中位线，得出EH=$\frac{1}{2}$（4+x），再证明∠AEP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出EH=$\frac{1}{2}$AP，在直角三角形ABP中，根据勾股定理求出x，即可得出AP．

解答 （1）证明：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABG=90°，
∵EF⊥AP，
∴∠AFE=90°，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴DE=EF，∠DAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DAP，
在△ADE和△ABG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠ADE=∠ABG}&{\;}\\{DE=BG}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
△ADE≌△ABG（SAS），
∴∠DAE=∠BAG=$\frac{1}{2}$∠DAP，
∴∠PAG=∠BAP+∠BAG=∠BAP+$\frac{1}{2}$∠DAP；
（2）解：设CP=x，作EH∥AD交AB于H，连接EF；
则H是AP的中点，EH是梯形ADCP的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$（4+x），
∵由（1）Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AED=∠AEF，
同理：∠CEP=∠FEP，
∴∠AEP=90°，
∴EH=$\frac{1}{2}$AP，
∴AP=4+x，
在Rt△ABP中，PB=4-x，
根据勾股定理得：AB²+PB²=AP²，
即4²+（4-x）²=（4+x）²，
解得：x=1，
∴AP=5．
方法二：∵DE=EC═EF=2，EF=EF，
∴Rt△EPC≌Rt△EPF，
∴PC=PF，
由△EPC∽△AED，可得PC=PF=1，
∴AP=AF+PF=4+1=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的中位线、勾股定理的运用；本题有一定难度，需要通过作辅助线设出未知数，通过勾股定理求出结果．