【题目】如图,等腰△ABC的顶角∠A=36°,若将其绕点C顺时针旋转36°,得到△A′B′C,点B′在AB边上,A′B′交AC于E,连接AA′.有下列结论:①△ABC≌△A′B′C;②四边形A′ABC是平行四边形;③图中所有的三角形都是等腰三角形;其中正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】D
【解析】
由题意根据旋转不变性,等腰三角形的判定和性质,平行四边形的判定一一判断即可得到选项.
解:由旋转不变性可知:△ABC≌△A′B′C,故①正确,
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠B=∠ACB=72°,
∵CB=CB′,
∴∠B=∠CB′B=72°,∠BCB′=∠ACB′=36°,
∴∠ACA′=36°,
∴∠BAC=∠ACA′,
∴AB∥A′C,
∵AB=CA′,
∴四边形A′ABC是平行四边形,故②正确,
∵∠B=∠BB′C=72°,
∴△CBB′是等腰三角形,
∵∠EAB=∠EB′A=36°,
∴△EAB′是等腰三角形,
∵∠CB′E=∠CEB′=72°,
∴△CEB′是等腰三角形,
∵∠ECA′=∠EA′C=36°,
∴△ECA′是等腰三角形,
∵∠A′AE=∠AEA′=72°,
∴△A′AE是等腰三角形,
∴图中所有三角形都是等腰三角形,故③正确,
故选:D.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(8,0)和B(0,6),点P为x轴负半轴上的一个动点,画△ABP的外接圆,圆心为M,连结BM并延长交圆于点C,连结CP.
(1)求证:.∠OBP=∠ABC
(2)当的直径为14时,求点P的坐标.
(3)如图2,连结OC,求OC的最小值和OC达到最小值时△ABP的外接圆圆心M的坐标.
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【题目】如图,点A是x轴正半轴上的动点,点B的坐标为(0,4),将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,点D是点A关于直线CF的对称点,连接AC、BC、CD,设点A的横坐标为t.
(1)线段AB与AC的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)当t=2时,求CF的长;
(3)当t为何值时,点C落在线段BD上?求出此时点C的坐标;
(4)设△BCE的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=4cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<6),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t的值为___________________.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若CD=2,BP=1,求⊙O的半径.
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【题目】如图,已知平行四边形ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,点E的对应点是点F,连接EF.
(1)当点E与点B重合时,在图1中将图补充完整,并求出∠CEF的度数;
(2)如图2,求证:点F在∠ABC的平分线上.
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【题目】如图,反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M,N两点,已知点M(-2,m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点P为y轴上的一点,当∠MPN为直角时,直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE,连接AE,分别交BD,BC于点F,G,则下列结论:①△AFB∽△ABE;②△ADF∽△GCE;③CG=3BG;④AF=EF,其中正确的有( ).
A.①③B.②④C.①②D.③④
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