Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（8,0）和B（0,6），点P为x轴负半轴上的一个动点，画△ABP的外接圆，圆心为M，连结BM并延长交圆于点C，连结CP.

（1）求证：.∠OBP=∠ABC

（2）当的直径为14时，求点P的坐标.

（3）如图2，连结OC，求OC的最小值和OC达到最小值时△ABP的外接圆圆心M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标为；（3）点M的坐标为.

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角等于90°及等角（或同角）的余角相等即可证明；

（2）先根据勾股定理求得AC的长，再证△OBP∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解；

（3）记直线AC与y轴的交点为E，当OC最小时，OC⊥AE，根据解直角三角形和中点坐标公式求解即可.

（1）连结AC，

∵BC为的直径，

∴∠BAC=∠BOP=90°

∵∠ACB=∠APB

∴∠OBP+∠APB=∠ABC+∠ACB=90°

∴∠OBP=∠ABC.

（2）∵∠BAC=90°， A（8，0）和B（0，6），

∴OB=6，OA=8，

∴AB=10

∴

∵∠BAC=∠BOP=90°，∠OBP=∠ABC，

∴△OBP∽△ABC

∴，

∴，

∴点的坐标为

（3）记直线AC与y轴的交点为E，

∵

则∠OAE=∠OBA=90°-∠BAO

当OC最小时，OC⊥AE，

此时，OC=OA sin∠OAE=OAsin∠OBA，

求得点C的坐标为

又∵点M为BC的中点

∴，，

∴点M的坐标为.