Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC，由已知得出∠ADC=∠AFB，证出CD∥BF，得出AB⊥BF，即可得出结论；

（2）设⊙O的半径为r，连接OD．由垂径定理得出PD＝PC＝CD＝，得出OP=r-1在Rt△OPD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解:（1）证明：∵弧AC＝弧AC，

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠AFB＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠AFB，

∴CD∥BF，

∵CD⊥AB，

∴AB⊥BF，

∵AB是圆的直径，

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示：

∵AB⊥BF，CD＝2，

∴PD＝PC＝CD＝，

∵BP＝1，

∴OP＝r﹣1

在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（）2

解得：r＝3．

即⊙O的半径为3．