Question

【题目】如图1，在中，点在边上（点与点不重合），以点为圆心，为半径作⊙交边于另一点，，交边于点．

（1）求证：；

（2）若，求关于的函数关系式并写出定义域；

（3）延长交的延长线于点，联结，若与相似，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A进而得出答案；

（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，构造Rt△EHB，所以，通过解Rt△ABC知：，易得答案；

（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF时即；②当∠DBP=∠F时，即，借助于方程求得AD的长度即可．

解：（1）证明：∵ED⊥DP，

∴∠EDP=90°，

∴∠BDE+∠PDA=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠PAD=90°，

∵PD=PA，

∴∠PDA=∠PAD，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=DE；

（2）过点E作EH⊥BD垂足为点H，

由（1）知BE=DE，

∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，

∴，

在Rt△EHB中，∠EHB=90°，

∴，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∴，

，

∴．

（3）如图，

设PD=a，则，，

在等腰△PDA中，，

易得：，

则在Rt△PDF中，∠PDF=90°，，

∴，，

①当∠DBP=∠ADF时，即；

解得a=3，此时，

②当∠DBP=∠F时，即，

解得，此时，

综上所述，若△BDP与△DAF相似，线段AD的长为或．