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【题目】小明为探究函数的图象和性质,需要画出函数图象,列表如下:

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根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,画出函数图象,如图如示,小明画出了图象的一部分.

1)请你帮小明画出完整的的图象;

2)观察函数图象,请写出这个函数的两条性质:

性质一:

性质二:

3)利用上述图象,探究函数图象与直线的关系;

①当 时, 直线与函数在第一象限的图象有一个交点,则的坐标是

为何值时,讨论函数的图象与直线的交点个数.

【答案】1)见解析;(2)性质一:图象有两个分支,分别在第一、第二象限;性质二:图象在第一象限时,yx的增大而减小,在第二象限时,yx的增大而增大;(3)①当b=2A(11)b2时,两个函数有三个交点;当b=2时,两个函数有两个交点;当b2时,两函数有一个交点

【解析】

1)根据表格描点,连线即可;

2)根据图象观察即可得出结论;

3)①当x>0时,方程-x+b=,整理得x2-bx+1=0,根据直线y=-x+b与函数的图象在第一象限只有一个交点,可得=0,解得b=2,把b=2代入x2-bx+1=0,即可的到点A的坐标;

②由一次函数的性质可得的图象经过必定经过二、四象限,所以当x<0时,直线y=-x+b与函数的图象在第二象限只有一个交点,再结合图象讨论当x>0时的情况,即可得出答案.

解:(1)绘制完整图象如下图:

2)由图象可得:图象有两个分支,分别在第一、第二象限;

图象在第一象限时,yx的增大而减小,在第二象限时,yx的增大而增大;

3)①当x>0时,方程-x+b=,即为-x+b=

整理得x2-bx+1=0

∵直线y=-x+b与函数的图象在第一象限只有一个交点,

=0,即b2-4=0

解得b=2b=-2(不符合题意,舍去),

b=2代入x2-bx+1=0

解得x1=x2=1

故点A的坐标为(11);

②∵k值小于0

∴图象经过必定经过二、四象限,

∴当x<0时,直线y=-x+b与函数的图象在第二象限只有一个交点,

由①可知,当x>0b=2时,直线y=-x+b与函数的图象在第一象限只有一个交点,

∴当b=2时,两个函数有两个交点,

结合图象可知当b2时,两个函数有三个交点,当b2时,两函数有一个交点,

综上:当b2时,两个函数有三个交点;当b=2时,两个函数有两个交点当b2时;两函数有一个交点.

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