Question

【题目】在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF.

（1）求证：△ABE≌△CBF;

（2）若∠CAE=25，求∠BFC 度数.

（3）若∠CAE=15°，BF=3.求AE的长。

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】

（1）根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE；

（2）推出∠BFC=∠BEA，求出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BEA=∠BCA+∠CAE，即可求出答案；

（3）根据全等三角形性质求出BE=BF，∠BAE=30°，利用30°所对直角边等于斜边的一半，即可求出答案．

解 ：（1）∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBF=90°，

在Rt△CBF和Rt△ABE中，

∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），

(2)∵Rt△CBF≌Rt△ABE

∴∠BFC=∠BEA

又∵AB=CB,∠ABC=90°

∴∠CAB=∠ACB=45°

∴∠BFC=∠BEA=∠BCA+∠CAE=45°+25°=70°

（3）)∵Rt△CBF≌Rt△ABE

∴BE=BF=3

∵∠BAE=∠BAC-∠CAE=30°,且∠CBA=90°

∴AE=2BE=6.